2017甘肃公务考试高分技巧：如何求解不定方程

在2017年甘肃公务员考试中，行测备考是广大考生最头疼的问题，在此，甘肃华图教育为大家收集整理了甘肃公务员考试行测备考技巧及资料，希望对大家有所帮助。

一、基本概念

所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。

比如3x+2y=6，方程只有一个，但是未知数有两个，这就是不定方程。很明显，3x+2y=6的解不唯一，给出一个x就会相应地有一个y，x、y的取值可以有无数个。值得注意的是，我们这里介绍的不定方程，一般都会对其中的未知数进行条件限制，比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。具体地，我们根据例题来给大家讲解。

二、典型例题

【例1】设a，b均为正整数，且有等式11a+7b=132成立，则a的值为?( )

A. 6 B. 4

C. 3 D. 5

【名师解析】这是一道不定方程问题。题目中对于未知数a、b给了限制条件，要求均为正整数，那么我们采用代入排除的方法来求解不定方程。即代入选项中a的数值，看求出来的b的是不是正整数，如果是即为正确答案，如果不是则要排除。比如说代入选项A，a=6，那么11×6+7b=132，7b=66，b不是正整数，所以排除A。依次类推排除B和C，对于选项D，a=5，那么11×5+7b=132，7b=77，b=11，满足题意，故本题答案为D选项。

这个题我们是用代入排除法来求解的不定方程，这是在求解不定方程时的常用方法之一。对于这道题目，还可以利用数字特性来求解。132=11×12，则132是11的倍数，11a是11的倍数，那么7b一定是11的倍数，所以b=11，从而a=5，故本题答案为D选项。

【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )

A.36 B.37

C.39 D.41

【名师解析】由于钢琴学员和拉丁舞学员是平均分配给各个老师的，所以设每个钢琴教师带领x个学生，每个拉丁舞教师带领y个学生，可以得到不定方程5x+6y=76。根据奇偶特性，76是偶数，6y是偶数(偶数乘以任何数都得到偶数)，那么5x一定是偶数，x一定是偶数。题目中说每位老师所带的学生数量都是质数，很多考生可能已经对于质数的概念忘得差不多了，在这里重新带着大家回顾一下。质数就是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数，比如2、3、5、7等。在质数数列中，仅有一个偶数，那就是2，所以x=2，代入方程可以求得y=11。学生人数减少后，每位老师带的学生数量不变，那么剩下的学员数为4x+3y，代入x和y，得4×2+3×11=41，故本题答案为D选项。

通过上面两道例题，希望各位考生能够掌握求解不定方程的几种方法，比如代入排除法和数字特性法。当然了，解不定方程的方法和技巧还有很多，希望各位考生能够多加练习，自己进行总结和归纳。如果有机会，我们会再次给大家讲解不定方程组的解题技巧和方法。

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